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📌 목차

1. The Rules of Probability
2. Probability Densities
3. The Gaussian Distribution
4. Transformation of Densities
5. Information Theory
6. Bayesian Probabilities

🧐  preview: uncertainty

ML의 적용은 "불확실성을 다루는 것"이 필수적:
uncertainty에는 다음 2가지 종류가 있음.

∙ Epistemic uncertainty

= systematic uncertainty
인식론적 불확실성은 다음 특성을 갖는다.
  - 유한한 dataset size
  - 즉, 무한한 large data에 대해 우연적인 불확실성이 존재
  → model이 data를 충분히 해결❌

∙ Aleotoric uncertainty

= intrinsic uncertainty
= stochastic uncertainty
= noise
이런 우연성(aleotoric)은 data에 포함된 고유 noise로 인해 발생한다.

  → noise는 세상정보의 일부만 관찰하기에 발생하는 것.
  → 이 불확실성을 줄이려면 다른 종류의 data수집이 필요.

---

이런 불확실성을 다루기 위한 Tool로써 "확률론"을 사용함.
이 확률론에는 단순하지만 강력한 2가지 법칙이 존재.
∙ 합의 법칙
∙ 곱의 법칙

합∙곱법칙 + 결정이론(decision theory)를 이용하면,
정보가 모호 = uncertainty가 있더라도 optimal prediction에 도달할 수 있다.

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∙ How to deal with uncertainty?

i) 빈도주의적 관점에서의 확률 사용:
많이 해보면(= frequency↑), 확률은 특정 값에 수렴한다.
즉, 불확실성의 양적평가로써 확률을 사용할 수 있음.

ii) Bayesian 관점에서의 확률 사용.
빈도주의 확률을 포함하는 보다 일반적인 Bayesian 관점.
불확실성의 양적 평가로써의 확률 사용.
즉, 관측된 결과가 많아질수록 해당 확률에 대한 불확실성은 낮아진다.

1. The Rules of Probability

1.1  의학적 선별검사 예제

[문제]: 암 조기 발견을 위한 인구 스크리닝
[가정]: 가정컨대 인구의 1%가 실제로 암에 걸려 있다
[이상적 상황]: 암이 있는 사람에게 양성, 암이 없는 사람에게 음성.
[실제적 가정]: 암이 없는 사람에게 3%가 양성이라 나올 것 (= FP)
                      암이 있는 사람에게 10%가 음성이라 나올 것(= FN)

🤔 [질문]
1) '인구를 스크리닝하면 누군가가 양성일 확률은?
2) '누군가가 양성 결과를 받았을 때, 실제로 암에 걸려 있을 확률은?

이러한 질문에 일반적인 확률 법칙, 즉 합의 법칙과 곱의 법칙을 유도해보자.

1.2  합∙곱의 법칙

확률 법칙 유도를 위해 아래 예제를 살펴보자.

이 예제에서는 두 변수 X와 Y가 관련되어 있습니다.
이 변수는 바뀔 수 있기에 이를 "random variable"이나 "stochastic variable"이라 한다.

[가정]: X가 i = 1, ..., L 값을 갖고 Y가 j = 1, ..., M 값을 갖을 수 있으며, X와 Y를 모두 샘플링하는 N번의 시도할 때,
∙ n_ij : X = x_i 및 Y = y_j인 경우의 시도 수
∙ c_i : X가 값을 x_i로 취하는 시도 수(Y가 어떤 값을 취하든지 상관없이)
∙ r_j: Y가 값을 y_j로 취하는 시도 수
∙ p(X = x_i, Y = y_j): X가 값 x_i를 취하고 Y가 값 y_j를 취할 확률
         이를 X = x_i 와 Y = y_j의 결합확률(joint probability)라한다.
이는 셀 i,j에 속하는 점의 수를 전체 점의 수로 나눈 비율로 주어진다:

이때, 암시적으로 lim N → ∞을 고려한다;
비슷하게 Y의 값과는 무관하게 X가 값을 x_i로 취할 확률은 p(X = x_i)로 표시된다.
이는 열 i에 속하는 전체 점의 수로 주어진다:

이때, ∑_i c_i = N이므로

🤔 Sum Rule

따라서 확률은 요구사항에 따라 합이 1이 됩니다.
Figure 2.4의 i 열에 대한 인스턴스 수는 해당 열의 각 셀의 인스턴스 수의 합일 뿐이며,
따라서 c_i = ∑_j n_ij이므로 (2.1)과 (2.2)에 의해 아래 식이 성립한다:

이것이 바로 확률의 합의 법칙이다.

🤔 조건부 확률

∙ p(X = x_i) : marginal probability, 이는 다른 변수들(여기서는 Y)을 주변화하거나 sum out하여 얻는다.
∙ p(Y = y_j | X = x_i) : 만약 X = x_i인 경우만을 고려한다면, 그 중 Y = y_j일 확률이다.
이를 X에 대한 Y의 조건부 확률이라 한다.

이는 열 i에 속하는 그 점 중 셀 i,j에 속하는 점의 비율을 찾아 얻을 수 있으며, 따라서 다음과 같이 주어진다:

양변을 j에 대해 모두 합하고, ∑_j n_ij = c를 사용하면 아래와 같다:

이로써 조건부 확률이 올바르게 정규화되었음을 보여준다.

 

🤔 Product Rule

 

이제 (2.1), (2.2), (2.5)에서 아래를 유도할 수 있는데, 이를 확률의 곱의 법칙이라 한다:

🤔 Sum & Product Rule

다만, X가 x_i값을 취할 확률을 p(X=x_i)로 표기하기는 다소 번거롭기에
p(X)로 random variable X에 대한 분포를 나타낼 것이며,
문맥 상 명확하게 특정값 x_i에 대한 분포를 p(x_i)로 표기하자.

이제, 이렇게 간단한 표기법을 이용하면 합과 곱의 법칙은 아래와 같이 표현가능하다:

∙ p(X,Y): 결합확률(joint probability), 'X와 Y의 확률'.
∙ p(Y|X): 조건부 확률(conditional probability),'X가 주어진 상황에서 Y의 확률'.
∙ p(X): 주변 확률(marginal probability), 단순히 'X의 확률'

1.3  Bayes' theorem

곱의 법칙과 결합확률의 대칭성 성질을 이용해 조건부 확률로부터 아래 수식을 얻을 수 있는데, 이를 베이즈 정리(Bayes' Theorem)이라 한다.

좌변의 조건부분포 P(Y|X)와 우변의 p(X | Y)간의 관계를 나타낸다는 것에 주목할 때, 합의 법칙을 사용, 베이즈 정리의 분모를 분자에 나타난 양으로 표현할 수 있다:

즉, 베이즈 정리의 분모는 p(Y|X)에서 모든 Y의 값에 대한 조건부 확률 분포의 합이 1이 되도록 보장하기 위해 필요한 정규화 상수로 볼 수 있다.

좌상단) N = 60의 유한한 data point sample이 결합분포에서 추출
우상단) 각각의 두 값 중 하나를 가지는 data point비율 historgram.
하단) p(X)와 p(X|Y=1)의 해당 histogram 추정치.
확률의 정의에 따라 N → ∞일 때, data point 비율=해당 확률 p(Y)

1.4 의학적 선별검사 재방문

1.1 예제에 대한 조건부 확률합과 곱의 법칙 적용

∙ 변수 C: 암의 존재 여부 (C = 0은 '암이 없음', C = 1은 '암이 있음')

[가정]: 가정컨대 인구의 1%가 실제로 암에 걸려 있다
[이상적 상황]: 암이 있는 사람에게 양성, 암이 없는 사람에게 음성.


∙ 변수 T: 검진 테스트 결과.

 T = 1: 암을 나타내는 양성 결과,
 T = 0: 암의 부재를 나타내는 음성 결과

[실제적 가정]: 암이 없는 사람에게 3%가 양성이라 나올 것 (= FP)
                      암이 있는 사람에게 10%가 음성이라 나올 것(= FN)
 따라서 우측처럼 네 가지 조건부 확률을 모두 쓸 수 있다:


다시 한 번, 이런 확률은 정규화되어 아래를 만족한다:

이에 대한 합과 곱의 확률법칙 적용

첫 번째 질문에 답하고 임의로 테스트 받은 사람이 양성 테스트 결과를 가질 전체적인 확률:

random test시, 실제 암확률=1%, test가 양성일 확률=4%이므로
이데 합의 법칙을 사용하면  p(T = 0) = 1 − 387/10, 000 = 9613/10, 000 = 0.9613

가 되고, 따라서 암이 없을 확률은 대략 96%이다.

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이제 test=positive일 때, TP일 확률은?
이는 테스트 결과에 조건을 걸은 상황에서 암에 걸릴 확률을 평가해야 한다.
p(T=1|C=1)~p(T=0|C=0)까지의 확률은 해당 사람이 암에 걸렸을 때 테스트 결과의 확률 분포를 제공한다.
하지만, 우리가 원하는 것은 테스트 결과에 따른 암에 걸릴 확률이므로 이런 조건부확률을 반전시키는 문제에 대해 Bayes' Theorem을 적용시켜 아래 식을 얻을 수 있다.

 

따라서 임의로 검사를 받아 양성이 나온 경우, 실제로 암에 걸린 확률은 23%이다.
합의 법칙을 이용하면, p(C = 0|T = 1) = 1 - 90/387 = 297/387 ≈ 0.77이 되어, 암이 없다는 확률은 77%가 된다.

1.5 Prior와 Posterior 확률

Bayes' Theorem의 중요해석

① prior(사전확률):
어떤 사람이 테스트를 받기 전에 해당 사람이 암에 걸릴 가능성을 묻는다면,
우리가 가지고 있는 가장 완전한 정보는 확률 p(C)를 사전확률이라 한다.
즉, 테스트 결과를 관찰하기 전에 사용할 수 있는 확률이다.

② posterior(사후확률):
이 사람의 test결과로 Bayes' Theorem으로 (p(C|T)를 계산할 수 있는데, 
이를 사후 확률(posterior probability)이라고 한다.
즉, 테스트 결과 T를 관찰한 후에 얻은 확률이다.

1.1 예제를 살펴보자.
∙ 암에 걸릴 prior = 1%. 
∙ 양성결과를 관찰 후, 암에 걸릴 posterior = 23%
상당히 높아진 것을 확인가능한데, 이는 직관적으로 예상할 수 있는 암의 높은 확률이다. 

But❗️Figure 2.3에서 보이듯, 테스트가 상당히 '정확'해 보일지라도
양성 테스트를 받은 사람은 여전히 실제로 암에 걸릴 확률이 23%이다.
이는 보편적인 시각에서 직관에 어긋나 보일 수 있다. (∵ prior가 낮기 때문)

비록 테스트가 암에 강력한 증거를 제공하더라도, Bayes' Theorem으로 사전 확률과 결합되어 올바른 사후 확률에 도달해야 한다.

1.6 독립 변수

[독립(independent)]:
두 변수의 결합 분포가 주변의 곱으로 나타날 때 독립이라 한다.

즉, 좌측 식에 대해 X와 Y는 독립이라 한다.

ex-1) 동전을 연속으로 던질 때, 
곱의 법칙에 따라 (p(Y|X) = p(Y)이므로 X의 값에 독립적인 Y의 조건부 분포를 갖는다.

ex-2) 1.1 예제에서 양성 테스트의 확률이 해당 사람이 암에 걸렸는지에 독립이라면?
(p(T|C) = p(T)가 성립
→ Bayes' Theorem에 따라 p(C|T) = p(C)
즉, 테스트 결과를 관찰해도 암의 확률이 변하지 않음을 의미. (= test결과가 쓸모 없음.)

2. Probability Densities

preview

이제, discrete말고 continuous변수에 대한 확률을 알아보자.

ex) 환자에게 어떤 약물을 투여해야 할지 예측하고자 한다면?
→ 이 예측에는 불확실성이 존재, 이를 양적화하려면 확률이 필요.
이 확률개념을 직접적으로 적용하는 방법은 다루지 않았기에 "확률밀도함수"개념을 소개.

[확률 밀도 함수(probability density)]:
연속 변수 x에 대해,
p(x)δx = 확률 밀도 함수 p(x)를 x가 (x, x + δx) 구간에 속할 확률 (이때, δx → 0).

(위 그림 참고) 구간 (a, b)에 속할 확률:

확률은 비음수이며, x의 값은 어딘가에 실수 축 상에 위치해 있기 때문에,
확률 밀도 함수 p(x)는 아래 두 가지 조건을 만족해야 한다:

---

x가 구간 (-∞, z)에 속할 확률은
누적 분포 함수(cumulative distribution function, CDF)에 의해 정의되는데,
이는 Figure 2.6에 나와 있는 것처럼 P′(x) = p(x)를 만족하는 누적 분포 함수이다:

---

x₁, ..., x_D의 여러 연속 변수에 대해, 이들을 모두 포함하는 벡터 x로 나타낼 수 있고,
이 벡터에 대한 결합 확률 밀도 함수를 p(x) = p(x₁, ..., x_D)로 정의할 수 있다.
p(x)δx: x가 속한 δx에 대한 확률 (δx: 무한소 체적; infinitesimal volume)

이 다변량 확률 밀도는 아래 조건을 만족한다:

cf) 이때, 적분값이 발산하면 정규화될 수 없는데, 이 정규화될 수 없는 분포를 부적절한(improper) 분포라 한다.

더 일반적으로, 이산 및 연속 변수의 조합에 대한 결합 확률 분포도 고려할 수 있다:
합과 곱의 법칙, 베이즈 정리는 이산∙연속 변수의 조합, 확률 밀도에도 적용가능하기에
만약 x와 y가 두 실수 변수라면, 합과 곱의 법칙은 다음과 같은 형태를 갖는다.

마찬가지로, 베이즈 정리는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

분모는 다음과 같이 주어집니다.

연속 변수에 대한 합과 곱의 법칙의 형식적인 근거는 측도론(measure theory)이라는 수학 분야를 필요로 하며, 이는 본 책의 범위를 벗어나지만, 이의 유효성은 각 실수 변수를 폭이 ∆인 구간으로 나누어 이들 간의 이산 확률 분포를 고려함으로써 비형식적으로 확인할 수 있으며 이 구간의 폭을 ∆로 한계를 취하면 합이 적분으로 변하고 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

2.1  분포 예시

[Laplace Distribution]

지수 분포의 변형으로, 정점을 위치 μ로 이동시킬 수 있다.
상수, 지수 및 라플라스 분포는 Figure 2.7에서 설명되어 있다. 

[Dirac delta function]

디랙 델타 함수는 x = μ에서만 0이 아닌 값을 가지며
p(x)적분 시, 1이 되도록 정의된다. (면적이 1인 특성)

직관에 의거, 이를 x = μ에서 무한히 좁고 무한히 높은 스파이크로 생각할 수 있으며 만약 D = {x₁, ..., x_N}로 주어진 x의 유한한 관측값 집합이 있다면,
델타 함수를 사용하여 다음과 같은 경험적 분포를 구성할 수 있다.

위 식에 정의된 경험적 분포는 각각 데이터 포인트를 중심으로 하는 디랙 델타 함수로 구성되며,
이를 통해 정의된 확률 밀도는 필요에 의해 적분 시 1이다.

2.2  기댓값과 공분산

Expectation

확률과 관련된 가장 중요한 작업 중 하나는 함수의 가중 평균을 찾는 것이다.
E[f] : 기대값(expectation), 이때, x의 다른 값들의 상대적 확률에 따라 "가중"된다.
  = 확률 분포 p(x) 하에서 함수 f(x)의 가중 평균

두 경우 모두 확률 분포나 확률 밀도로부터 뽑힌 유한 개수의 N개의 점이 주어진 경우, 
기대값은 이러한 점들을 이용한 유한 합으로 근사화될 수 있다.

이때, 위의 근사식은 N → ∞로 수렴할 때 더 정확해진다.
(즉, sample이 많아질수록 근사값이 실제 함수의 가중평균값에 더 수렴한다는 의미.)

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때로는 여러 변수의 함수에 대한 기대값을 고려할 것이며, 이 경우 어떤 변수에 대한 평균을 나타내기 위해 우측처럼 하위 첨자를 사용할 수 있습니다:

이는 x의 분포에 대한 함수 f(x, y)의 평균을 나타내는데 여기서 E_x[f(x, y)]는 y의 함수이다.

---

또한 조건부 분포에 대한 조건부 기대값은 아래와 같으며 이 역시 y에 대한 함수이다.

이때, 함수 f(x)의 분산은 아래와 같이 정의된다:

이는 f(x)가 그 평균값 E[f(x)]주변에서 얼마나 변하는지를 측정하는 지표를 제공한다. 
제곱을 풀어서 표현하면 분산은 f(x)와 f(x)²의 기대값으로도 나타낼 수 있다.

특히 변수 x 자체의 분산을 고려하면 아래와 같다:

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Covariance

두 확률 변수 x와 y에 대해, 공분산은 두 변수가 함께 얼마나 변하는지를 측정한다:

만약 x와 y가 독립이라면: Cov[x,y]=0

---

두 벡터 x와 y에 대해, 그들의 공분산은 다음과 같은 행렬이다:

만약 벡터 x의 구성 요소들 간의 공분산을 고려한다면,
더 간단한 표기법으로 cov[x] ≡ cov[x, x]를 사용한다.

3.  The Gaussian Distribution 🌟

prev.

연속변수분포예시들 중, 가장 중요한 분포를 꼽으라면 단연 Gaussian Distribution(= 정규분포)이다:

정규분포는 평균(μ)과 분산(σ²)에 의해 지배되는 x에 대한 확률 밀도이다.
이때, 표준편차(σ)를 이용해 precision을 구할 수 있다.
∙ precision(β) = 1/σ² = 분산의 역수

Gaussian 분포는 최대 엔트로피의 개념과 중심 극한 정리의 관점에서 자연스럽게 나타난다.
Gaussian 분포는 아래조건을 만족하며, 정규화되어있음을 증명할 수 있다.
따라서 Gaussian분포 식이 유효함을 증명가능하다:

3.1 평균과 분산

Gaussian분포 하에서 x에 대한 함수의 기댓값:

이때, 분포의 평균값(μ)을 나타내서
매개 변수 μ를 평균이라고 한다.

위 식의 적분은 분포의 x를 1승으로 제곱한 것의 기대값이라고 알려진 제1순 적률(first-order moment)로 비슷하게 2차 moment에 대해 평가를 할 수 있다:

위 식들을 이용해 구해진 분산값은 다음과 같다:

따라서 σ²는 분산 매개 변수로 알려져 있으며,
분포의 최댓값을 최빈값이라고 한다. (Gaussian의 경우, mode=mean)

3.2  Likelihood 함수

[가정]: μ와  σ²이 알려지지 않은 정규분포에서 독립적으로 추출된 N개의 관측 dataset에 대해 μ와  σ값을 결정하고자 한다.
이때, 관측치 집합에서 확률 분포를 추정하는 문제는 밀도 추정(density estimation)으로 알려져 있으며 밀도 추정의 문제는 기본적으로 잘 정의되지 않는다. (∵ 관측된 유한한 Dataset에서 발생가능한 무한한 확률분포가 존재해서.)

[방법]:
사실, x₁,...,x_N 각각의 데이터 포인트에서 0이 아닌 모든 p(x)는 잠재적인 후보.
여기서는 가능한 후보들을 가우시안으로 제한하면, 명확하게 정의된 해결책에 도달한다.

i.i.d (independent & identically distributed)

data point가 동일분포에서 독립적으로 추출된 것.
이때, Joint probability는 두 event간의 곱으로 표현.
x가 i.i.d이고 μ와 σ²가 주어진 경우, Dataset의 확률은 우측과 같다:

Likelihood Function

Gaussian에 대한 Likelihood함수: 그림 2.9처럼만약 μ와 σ²의 함수로 볼 때의 Gaussian function

Maximum Likelihood:
이때 관찰된 Dataset으로 확률분포의 매개변수를 결정하는 방법.
Likelihood Function을 최대화하는 parameter를 찾는 방법.

Step 1. Gaussian에서 Gaussian Likelihood함수를 최대화하여 알려지지 않은 매개 변수 μ와 σ²의 값을 결정.
(실제로 Likelihood함수의 log를 최대화 하는 것이 편리.)
(실용적으로도, 큰 수의 작은 확률의 곱은 컴퓨터의 숫자 정밀도를 손상시킬 수 있기에, 이는 로그 확률의 합을 계산함으로써 해결가능.)

이에 따라서 로그 가능도 함수는 다음과 같다:

위 식을 μ에 대해 최대화하면 다음과 같은 Maximum Likelihood 해를 얻을 수 있다.
이를 sample mean, 표본평균이라 하며, 이는 관측된 값 {x_n}들의 평균을 의미한다.
비슷하게 σ²에 대해 최대화 시, 분산에 대한 최대 우도해를 얻을 수 있다.
이를 표본 평균 μ_ML에 대한 sample variance, 표본 분산이라 한다.

주의할 점은 우리가 μ와 σ²에 대해 (2.56)을 동시에 최대화하지만,
Gaussian분포는 μ에 대한 해가 σ²에 대한 해에서 독립되어 계산될 수 있기에
따라서 먼저 μ_ML을 평가하고 이 결과를 사용하여 나중에 σ_ML²을 평가할 수 있다.

3.3  Maximum Likelihood의 Bias

Maximum Likelihood, 본 Section에서는 ML이라 부르겠다.
ML은 딥러닝에서 널리사용되어 기계학습알고리즘의 근간이 되지만, 몇가지 제한사항이 있는데, 이를 단일 변수 가우시안을 사용한 예제를 통해 알아보자.

Maximum Likelihood의 제한사항(feat. bias)

[가정]:
μ_ML과 σ²은 Dataset(x₁, ..., x_N)의 함수로 이 값들이
실제로 μ와 σ²가 μ_ML과 σML²로 추정된 정규분포에서 i.i.d로 생성됨.

이 Dataset에 대한 μ_ML과 σ²의 기대값을 고려해 보자:

[결과]:
이러한 결과는 아래 2가지를 보여준다.
μ_ML   =  μ의 불편 추정량
σ_ML² ≠  σ²의 불편 추정량. (N-1 / N)
∴ ML방법은 따라서 최대 우도 방법은 모집단 추정에 완벽하지 않다.
이것은 바이어스(bias)라고 불리는 현상의 예시이다.

[Bias]:
random한 추정량이 실제값과 체계적으로 다른 것.

[Bias발생원인]:
분산이 데이터에 맞게 조정된 MLE기준으로 측정되기 때문
아래 그림을 통해 직관적인 이해가 가능하다.

---

대신 실제 평균 μ에 접근하여 아래처럼 분산을 결정하는데 사용했다 가정하자:

이렇게 되면 unbiased된 분산 추정치 값을 찾을 수 있는데, 이는 실제 분산과 같아진다:

물론 우리는 실제 평균에 접근할 수 없고 관측된 데이터 값에만 접근할 수 있기에 실제 분산과 같아지긴 어렵다.

다만, ML분산의 평균에 따라 Gaussian분포에 대한 분산의 다음 추정치의 경우, 편향이 없어진다:

다만, 신경망처럼 복잡한 모델에서는 ML의 bias보정이 쉽지 않다.
또한, MLE의 bias는 Data point N이 많아지면, 덜 중요해지진다.(lim N → ∞,  σ_ML² = σ²)

Gaussian의 경우, 너무 N이 적지 않은 이상 이 bias가 큰 문제가 되진 않지만
본 저서는 Deep Learning 즉, 많은 parameter를 갖는 모델에 초점을 두었기에
ML과 관련된 bias문제는 보다 심각하다.(Overfitting문제와 밀접한 관련성을 가짐.)

3.4 Linear Regression

Linear Regression에서 Error function과 Regularization에 대해 알아보자.

Regression의 목표:
input x에 대한 target t의 예측을 가능케 하는 것.       

[가정]:

training data=  input x = (x₁, ..., x_N) & target t = (t₁, ..., t_N)
x가 주어질 때, t의 불확실성을 확률분포로 나타내고자 함.
이때, data는 i.i.d
이를 위해 주어진 x에 대한 t의 값이 y(x, w) 값과 동일한 평균 μ와 분산 σ²을 갖는 Gaussian 분포를 가짐:

train data {x, t}를 사용해 ML로 알 수 없는 매개변수 w와 σ²의 값을 결정하자. 
i.i.d이므로 ML방법을 통해 w를 결정할 수 있다.
위 도식의 분포와 i.i.d로 data추출되었다 가정시 likelihood함수:

가우시안 분포식으로 ML을 수행시 Log-Likelihood함수:

w_ML: 다항식 계수에 대한 MLE값으로 이 값은 w에 대해 위의 식을 최대화하여 결정되므로 다음과 같은 trick을 사용해보자.

① 위의 식의 우변에서 마지막 두 항을 생략할 수 있다. (∵ w에 의존하지 않기 때문)

② Log-Likelihood를 양의 상수계수로 스케일링  
(∵ w에 대한 최대값의 위치를 변경하지 않으므로 1/2σ² 대신 1/2로 계수를 대체)

③ MLE → NLL 최소화 (= w 결정 시 MSE와 동일하게 됨)

∴ Gaussian Noise Distribution을 가정, MLE의 결과가 MSE로 바뀌어 버린 것!

---

또한, MLE를 이용해 σ²를 결정할 수도 있는데, σ²에 대한 최대화는 아래의 식과 같다:

평균을 지배하는 매개변수 벡터 w_ML를 먼저 결정하고, 간단한 가우시안 분포의 경우와 마찬가지로 이를 사용해 σ_ML²을 찾을 수 있다.

w와 σ² 결정 이후, 에는 새로운  x값에 대한 예측도 가능한데,
probabilistic모델이 있기에 이런 예측은 단순한 point 추정이 아닌,
t에 대한 확률 분포로 표현되며, 최대 우도 매개변수를 우측 위쪽식에 대입하면 우측 아래식을 얻는다:

4.  Transformation of Densities

변수간의 비선형변환

변수의 비선형변환에 대해 확률밀도가 어떻게 변할까?
Chapter 18. Normalizing flow라는 생성모델클래스를 다룰때 중요한 역할.

위 식에 대한 확률밀도 p_x(x)를 생각해보자.
또한, x=g(y)를 이용해 새로운 변수 y에 대한 밀도 p_y(y)를 생성하자.

매우 작은값 δx에 대해 (x, x+δx)범위안에 있는 x=g(y)에 대해 (y, y+δy)범위로 변환될 수 있다.
따라서 p_x(x)δx ≃ p_y(y)δy가 성립한다.
또한, δx→0일 때, 아래 식을 얻는다.

즉, f라는 비선형함수, x→y로 변환된 변수의 확률밀도가 어떻게 변하는지에 대해 설명하고 있음.

---

위에서 설명한 밀도변환방법은 매우 강력할 수 있다.

모든 밀도 p(y)는 모든곳에서 0이아닌 고정된 밀도 q(x)를 얻을 수 있기 때문.
이때, q(x)는 x=f(y)인 비선형변수변환으로 얻어진 값.

ˆx이 극값인 f(x)함수에 대해 위 식에서의 절댓값으로 인해 f'( ˆx)=0이 되어버린다.
즉, 아래식이 성립한다.

즉, 이는 x와 y에 대한 극값의 위치가 ˆx = g(ˆy)로 관련되어 있음을 의미.
그렇기에 서로간의 mode(극값)찾기는 서로에게 의존하게 된 것.

(다만, 아래 예제를 보면 완전히 완벽하게 서로간의 mode를 찾을 수 있는 느낌은 아닌듯.)

---

Ex) 아래 그림으로 설명을 추가해보자.

빨간곡선: x에 대한 정규분포 p_x(x)
이 분포에서 N=5만개 점 추출, histogram을 그림.
→ p_x(x)와 거의 일치할 것.

x→y로의 비선형변수변환을 고려해보자.
x = g(y) = ln(y)-ln(1-y)+5

이 함수의 역함수는 Sigmoid함수로 파란곡선이다.

p_x(g(y)): 만약 단순히 p_x(x)를 x의 함수로 변환한다면 얻는 분포, 곡선의 mode가 변환된 것을 확인가능.


다만, y에 대한 밀도는 좌측 식에 의해 변형되기에

좌측의 핑크 곡선(right-skewed)으로 나타난다.
이에 대한 정확한 측정은 5만개의 sample을 이용해 변환 후 histogram으로 확인가능한데, 초록색곡선과는 일치하지 않음을 알 수 있다.

4.1  다변량 분포 with Jacobian Matrix

좌측 식의 결과를 D차원 변수에 대해 정의된 밀도에 확장해보자.
즉, 단변량의 비선형변수변환→다변량에 적용


[가정]
D차원 변수 x = (x₁, . . . , x_D)^T에 대한 밀도 p(x)를 새로운 변수 y = (y₁,...,y_D)^T로 변환한다 가정.
이때, x와 y는 동일한 차원을 가진다고 가정.

변환된 밀도는 위 식처럼 일반화된 형태로 표현: p_y(y) = p_x(x) |det J|
(J는 쟈코비안 행렬(Jacobian matrix)이며, 그 요소들은 J_ij = ∂g_i/∂y_j처럼 편미분으로 주어진다.)
J는 공간의 일부를 확장하고 다른 부분을 압축하는 것으로 직관적으로 이해가능하다. 

x 주변의 무한소 영역 ∆x가 점 x를 중심으로 y = g(x) 주변의 영역 ∆y로 변환된다 볼 수 있다.

위 J행렬식은 영역 ∆x의 확률 질량이 영역 ∆y의 확률 질량과 동일하다는 사실로부터 도출된다.

이때, x→y로의 변환은 아래 식에 의해 주어진다.

---

x, y가 다변량분포일 때, 비선형변환을 적용하려면
Jacobian Matrix를 사용 (p_y(y) = p_x(x) |det J|).
추가적으로 무한소영역 어쩌구 저쩌구 말이 많은데 단변량과 유사하다 보여짐.

 

해당 그래프를 보면 y의 주변분포로 떨어지는데 이를 공간상으로 확장한것이나 진배없음.
즉, 주변 "영역"으로 변환 된다는 것을 의미. (완전히 변환되는 것을 의미하지 않음을 위 사진에서 y의 분포가 정확하게 원형이 아닌 마치 혜성처럼 주변에 분포가 존재하는 것으로 알 수 있음)

cf) J의 역할: 공간의 일부를 확장하고 다른 부분을 압축하는 것
(= 해당 변수의 변화량이 다른 변수에 얼마나 영향을 주는지를 의미;
이를 모든 영역에 대해 고려하면 전체 공간이 어떻게 변화하는지 알 수 있음)

cf) 사실 단변량일때도 미분 후 함수의 mode를 봤던 것을 보면, 편미분의 집합체를 행렬식으로 만든 Jacobian의 경우, 그냥 차원을 늘렸다라고 생각하면 편할 것 같다.

5. Information Theory: Dataset에 포함된 정보를 측정

5.1  Entropy

먼저 discrete random변수 x에 대해 이 변수의 특정값을 관찰 시 얻는 정보량을 알아보자.
정보량 = x값을 알았을 때의 '놀람의 정도'
만약 우리에게 매우 드물게 발생한 사건이 발생했다고 알려진다면, 매우 가능성이 높은 어떤 사건이 발생했다고 알려진 것보다 더 많은 정보를 받게 될 것이며, 그 사건이 반드시 일어날 것이라고 알고 있다면 우리는 어떠한 정보도 받지 않을 것이기 때문.
정보내용의 측정은 확률 분포 p(x)에 의존, 따라서 h(x)를 찾는것이 목표.
h(x): p(x)의 단조 함수인 정보 내용을 나타내는 양

---

🤔 h(x, y) = h(x) + h(y)인 이유

h(·)의 형태: 두 독립사건 x,y에 대해 아래 성질을 만족.
함께 관찰함으로써 얻는 정보 = 각각 따로 관찰한 정보의 합
또한, p(x, y) = p(x)p(y)를 만족한다.

[정리]: 두 독립사건 x,y에 대해 아래가 성립.
  ∙ h(x,y) = h(x) + h(y)
  ∙ p(x,y) = p(x)p(y)
h는 p의 정보량이기에 위 식이 만족하려면 h는 log로 주어져야한다.
∴ h(x) = -log₂p(x)로 주어진다. (이때, - 는 정보가 양수or0이 되도록 보장.)
낮은확률의 사건 x = 높은정보이며, 이때 log 밑은 임의로 선택가능.

정보론: log₂가 관례적, 이는 곧 h(x)의 단위가 bit('binary digits')임을 의미.

---

🤔 H[x] : x의 entropy (평균정보량 즉, p(x)의 기댓값)

이제 발신자가 랜덤 변수 값을 수신자에게 전송한다 가정하자.
이 과정에서 전송되는 평균 정보의 양 = 분포 p(x)에 대한 기대값.
이를 H[x]로 나타내며, 이 중요한 양을 random 변수 x의 "entropy"라 한다.

H[x]는 random variable x의 Entropy
= state x의 평균정보량
= p(x)의 기댓값 을 의미.

cf) lim_ε→0(ε ln ε) = 0이므로,  p(x) = 0인 어떤 x의 값에 대해 p(x)lnp(x) = 0 이 성립한다.

---

Example)

8가지 가능한 상태를 갖는 random변수 x에 대해 이 변수의 entropy가 아래와 같을 때,
(이때, 각 상태는 동일한 확률로 발생.)

이제 8개의 상태를 갖는 변수: {a, b, c, d, e, f, g, h}에 대해
각 확률이 (1/2, 1/4, ,1/8, 1/16, 1/64, 1/64, 1/64, 1/64)로 주어진다 하자.
이 경우의 entropy는 다음과 같이 주어진다:

비균일분포는 균일분포보다 더 작은 entropy를 갖는 것을 볼 수 있다.
(물리의 평형열역학의 맥락에서 entropy는에 대한 무질서도 관점이기 때문.)
먼저, 변수상태를 수신자에게 전송하는 예제에 대해 생각해보자. 전처럼 3-bits숫자를 사용해 이를 할 수 있다.

불균일한 분포를 활용해 더 가능성이 높은 사건에 대해 더 짧은 코드를 사용하고,
그에 따른 적은 가능성의 사건에 대해 더 긴 코드를 사용해 평균 코드 길이를 줄이려고 할 때,
(약간 JPEG느낌인듯?)

이를 위해 {a, b, c, d, e, f, g, h} 상태를 다음과 같은 코드 문자열 집합을 사용하여 나타낼 수 있다:
0, 10, 110, 1110, 111100, 111101, 111110, 111111.
이에 대해 전송해야 하는 코드의 평균 길이는 아래와 같은데, 이는 random 변수의 entropy와 동일하다.

더 짧은 코드 문자열을 사용할 수 없는 이유: 이런 문자열의 연결을 해당 구성 요소로 명확히 구분할 수 있어야 하기 때문.

ex) 11001110은 c, a, d 상태 순열로 고유하게 해석됨. entropy와 가장 짧은 인코딩 길이 간의 관계는 일반적인 것.

noiseless coding theorem(Shannon, 1948)은 entropy가 random변수의 상태를 전송하는 데 필요한 비트 수의 하한값임을 명시.

cf) 본 책의 다른 곳의 아이디어와 더 편리하게 연결되도록 entropy정의 시 자연로그 ln을 사용. 
이 경우, 엔트로피는 비트 대신 네이트(nats, '자연로그') 단위로 측정.
이 두 단위는 단순히 ln 2의 배수로 차이가 있습니다.

5.2 물리학관점 예시

ex) entropy에 대한 추가적인 시각확보를 위한 예시
i번째 바구니마다 서로 같은 n_i개의 물체가 각각 들어있는 서로다른 총 N개의 바구니에 대해
"물체를 바구니에 할당하는 방법의 경우의 수를 고려해보자."

N개의 물체를 바구니에 할당하는 방법의 총 수는 N!이다.
즉, i번째 바구니에는 n_i!의 방법으로 물체를 재배치할 수 있다.
(바구니 내의 구별X)
∴ N개의 물체를 바구니에 할당하는 방법의 총 수: 이를 multiplicity라 부른다.

이때, Entropy(H)는 다양성(W)의 로그에 1/N(정규화 상수)를 곱한것으로 정의된다:

이제 N → ∞의 한계를 고려하며 n_i/N의 분수를 고정시키고 스털링 근사를 적용해 보면,

이며, 이를 엔트로피 방정식에 대입하면 아래와 같다.

N이 무한대로 접근함에 따라 lnN항이 우세해지고, 한계값은 -∞이 된다.
따라서 물체의 수가 증가함
= 물체에 대한 무질서도 증가
= 물체에 대한 구체적인 배열에 대한 정보 부족이 증가.

이때, p_i = lim_N→∞(n_i/N)는 i번째 바구니에 물체가 할당될 확률이다.

[Macro와 Micro] - in physics
물체를 바구니에 할당하는 특정 방법은 미크로상태(micro state)라고 하며,
n_i/N의 비율을 통해 표현된 전체적인 배치는 매크로상태(macro state)라고 한다.
매크로상태에서의 미크로상태의 수를 나타내는 다양성 W은 macro의 가중치(weight)로도 알려져 있다.

---

바구니를 이산형 확률 변수 X의 상태 x_i로 해석해보면, p(X = x_i) = p_i이다.
이때, 확률 변수 X의 entropy는 아래와 같다.

위 그림에서 알 수 있듯, 몇 개의 값 주변에 날카롭게 피크한 분포 p(x_i)는 상대적으로 낮은 엔트로피를 가질 것이고,
여러 값에 고르게 퍼져 있는 분포는 높은 엔트로피를 가질 것이다.

0 ≤ p_i ≤ 1이므로 entropy는 음이 아니며, p_i = 1이고 p_j≠i = 0인 경우에 최소값, 0이 된다.

[Lagrange승수로 최대화: 이산형 분포]
Maximum Entropy는 확률에 대한 정규화 제약을 강제하기 위해 Lagrange승수를 사용하여 H를 최대화함으로써 찾을 수 있는데, 이는 아래와 같이 최대화한다.

이때, 모든 p(x_i)는 동일하고 p(x_i) = 1/M이며, 여기서 M은 상태 x_i의 총 수이고 entropy의 해당 값은 H = ln M이다.
이 결과는 추후 짧게 논의되는 Jensen 부등식에서도 유도될 수 있다.
도함수가 0이 되는 지점이 실제로 최대값인지 확인하기 위해 엔트로피의 이계도함수를 구하면,

여기서 I_ij는 항등 행렬의 원소로 이 값들이 모두 음수이므로
도함수가 0이 되는 지점은 실제로도 최댓값임을 알 수 있다.

5.3  Differential Entropy

entropy의 정의를 점점 확장하는 방향으로 나아가고 있다.
정의를 확장시켜 continuous변수 x에 대한 확률분포 p(x)를 포함시켜보자.

먼저 x를 폭이 ∆인 구간으로 나눈 후, p(x)가 연속적일 때 평균값정리에 따라 
각 구간 i∆ ≤ x_i ≤ (i+1)∆ 범위에서 x_i가 존재해야 한다.

이제 연속변수 x를 양자화하여 x가 i번째 구간에 속할 때 어떤 값 x를 값 x_i에 할당한다 하자.
이를 통해 값 x_i를 관측할 확률은 p(x_i)∆이므로 entropy는 아래와 같은 이산형 분포를 얻는다:

여기서 ∑_ip(x_i)∆ = 1는 평균값정리와 확률밀도함수의 AUC=1에서 도출된 것이다.
위 식의 두 번째 항인 - ln ∆를 생략 (∵이 항은 p(x)와 독립적)
이제 lim∆ → 0을 고려해 보면 위 식의 첫항은 이 lim에서 p(x) ln p(x)의 적분에 근접한다.

이 때 우측 항에 있는 양을 미분 엔트로피(Differential Entropy)라 한다.

🤔 이산∙연속형 entropy차이가 발생이유?

이산형과 연속형 엔트로피 형태의 차이는 ln ∆라는 양에 의해 발생
이는 lim∆ → 0에서 발산하는데, 이는 연속 변수를 매우 정밀하게 지정하는 데는 많은 bit가 필요함을 대변한다.
여러 연속 변수에 대한 밀도를 정의하는 경우, 이를 벡터 x로 표기하면 미분 엔트로피는 아래와 같다.

5.4 Maximum Entropy

[Lagrange승수로 최대화: 연속형 분포]
최대 엔트로피가 명확하게 정의되기 위해서는 p(x)의 1,2번째 모멘트, 즉 평균과 분산값을 제한하고 정규화 제약을 유지해야 하므로
아래 3가지 제약조건으로 Differential Entropy를 최대화한다.

Lagrange 승수를 사용해 아래 함수를 p(x)에 대해 제한된 최대화를 수행:

이제 변분법으로 이 함수의 도함수를 0으로 설정하면:
(변분법: 범함수의 최대/최소를 다루는 방법.)

이 때 Lagrange 승수는 이 결과를 세 제약 조건 방정식에 역대입하여 찾을 수 있으며, 최종 결과는 아래와 같다:

즉, 미분 엔트로피를 최대화하는 연속확률변수분포는 Guassian Distribution임을 알 수 있다.
만약 가우시안의 미분 엔트로피를 평가하면 위와 같은데, 이는 분포 폭이 증가하면,  entropy 또한 증가함을 볼 수 있따.
또한, 이는 이산 entropy와 달리 미분 entropy값이 음수일 수 있음을 보여준다.
(∵ σ² < 1/(2πe) 일 때, H[x] < 0 )

5.5 KL Divergence🌟

앞서 말한 entropy의 핵심 개념들을 기계 학습과 연관지어보자!
모르는 분포 p(x)와 근사분포 q(x)에 대해 q(x)를 사용하여 x의 값을 수신자에게 전송하기 위한 코딩 체계를 구축한다 가정하자.
q(x)를 사용하면 실제 분포 p(x) 대신 x의 값을 지정하는 데 필요한 평균 추가 정보량(단위: nats)은 아래와 같다:

[KL-Divergence]:
분포 p(x)와 q(x) 간의 상대 엔트로피(relative entropy)
(단, 양방향적인 양이 아니기에, KL(p∥q) ≠ KL(q∥p)임에 주의)
KL(p∥q) ≥ 0 를 만족한다. (단, 등호는 p(x) = q(x)일 때 성립.)



[KL(p∥q) ≥ 0 증명]

① 볼록함수(convex)의 개념:
아래 그림처럼 함수 f(x)는 모든 chord가 함수 위에 있거나 일치할 때, 이를 convex라 한다.

(a,b)사이 임의의 x값을 λa + (1 − λ)b 형태로 사용하자.
chord상의 해당 지점은 λf(a) + (1 − λ)f(b)로 주어지며
함수의 해당 값은 f(λa + (1 − λ)b)이다.

이는 f(λa + (1 − λ)b) ≤ λf(a) + (1 − λ)f(b)임을 의미하므로
함수의 이계도함수가 항상 양수임을 의미한다.

---

[Jensen's Inequality]

만약 λ_i≥ 0이고 ∑_iλ_i=1 일 때, 모든 점 {x_i}에 대해 convex f(x)는

 증명에 의해  아래를 부등식을 만족함을 수학적 귀납법(induction)으로 증명가능하다:

이때, 위의 결과를 Jensen's inequality, Jensen부등식이라 한다.

---

cf) [Jensen's inequality의 확률분포]

∙ λ_i는 {x_i}를 값으로 갖는 이산 변수 x에 대한 확률 분포:

∙ 연속 변수 x에 대한 확률분포:

Jensen's inequality의 연속확률분포에 KL-Divergence를 적용하면 아래의 같다:
(이때, -lnx는 convex이므로 정규화 조건 ∫q(x) dx = 1를 함께 사용.)
(또한, 등호는 x에 대해 q(x)=p(x)일때만 성립.)

∴ KL-Divergence는 두 분포 p(x)와 q(x)간의 비유사성의 측정

---

Data compression과 Density Estimation(알려지지 않은 확률 분포를 모델링하는 문제) 간에 밀접한 관련이 있음을 알 수 있는데, 가장 효율적인 압축은 실제 분포를 알 때 얻을 수 있다.

실제 분포와 다른 분포를 사용하면 반드시 덜 효율적인 코딩이 필수적이 되어비려
평균적으로 추가 전송해야 할 정보는 최소한 두 분포 간의 KL-Divergence와 동일하다. 

---

[Negative Log-Likelihood]

6.4.2 Binary classification절에서 Softmax와 NLL의 관계에 대해 상세히 다룸.

Data: 알려지지 않은 분포 p(x)에서 생성
목표: 이 분포를 모델링

방법: 몇 개의 매개변수 θ로 제어되는 근사 분포 q(x|θ)를 사용.
(이때, θ는 p(x)와 q(x|θ) 간의 KL-Divergence을 θ에 대해 최소화하여 결정.)
(∵  p(x)를 모르기에 직접적으로 이 작업을 수행할 수는 없기 때문.)


ex) p(x)에서 뽑은 한정된 양의 training point x_n을 관찰
이후 p(x)에 대한 기대값은 x_n을 사용한 유한한 합으로 근사될 수 있음:

🔍 위 식 우측을 살펴보자.
1번 항: trainset을 사용해 평가된 q(x|θ)의 분포에 대한 Negative Log-Likelihood함수.(보통 이를 NLLLoss라 함)
2번 항: θ에 독립적.
∴ 이 KL-Divergence를 최소화하는 것 = NLL 최대화

cf) Log-Likelihood

[cross-entropy와 NLL-Loss의 관계]

target변수 t가 있을 때, (이때 t = 1은 클래스 C1을 나타내고 t = 0은 클래스 C2를 나타내는 이진 분류이다.)
canonical link함수(자연 파라미터의 함수의 분포 평균의 함수:
가우시안족에 대한 canonical response function은 identify 함수,
베르누이 분포에 대한 canonical response function은 logistic함수)
정의에 따라 sigmoid activation function을 갖는 단일출력신경망을 고려할 때, 0 ≤ y(x, w) ≤ 1 이다.
이때, y(x, w)를 조건부 확률 p(C1|x)로 해석할 수 있으며, p(C2|x) = 1 - y(x, w)가 성립한다.
input에 대한 조건부 분포는 아래와 같은 Bernoulli Distribution이다.

독립적으로 관찰한 trainset에 대해 오차함수는 NLL로 주어진 Cross-Entropy 형태이다:
이때, y_n은 y(x_n, w)이다.

(Simard 2003)는 Classification에서 MSE대신 Cross-Entropy Loss가 빠른 훈련과 향상된 일반화를 이끌어낸다 하였다.

---

식 1.의 Noise 분산 σ²는 불연속적이기에 (∵ target은 label이 지정되어 불변값)
그러나 모델은 t가 잘못된 값으로 뒤집힌 확률 ε를 도입, 라벨링 오류를 허용하도록 쉽게 확장될 수 있다(Opper and Winther, 2000).

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K 개의 별도 이진 분류를 수행해야 하는 경우 각각에 logistic sigmoid activation function이 있는 K 개의 출력을 가진 신경망에 대해 각 출력에는 k = 1, ..., K에 해당하는 이진클래스 라벨 t_k가 있다하자.
클래스 라벨이 입력 벡터가 주어진 경우, 독립가정시, 대상의 조건부 분포:

해당 Likelihood함수에 Negative Log를 씌우면 아래와 같다.

 

 이때, y_nk는 y_k(x_n,w)로
즉, 특정 output에 대한 오차함수의 pre-activation에 대한 도함수는
Regression처럼 좌측 형태를 갖기 때문이다.

5.6 Conditional Entropy🌟

이제 변수 x와 y의 두 집합 간의 결합 분포 p(x,y)를 고려해보자. (두 변수는 )
만약 x의 값을 알고 있다면, 해당하는 y값을 지정하기 위한 추가정보량은 -lnp(y|x)이다.
따라서 y지정 시, 필요한 평균추가정보는 아래와 같다:

이때, 주어진 y를 주어진 x의 조건부 엔트로피(conditional entropy)라 한다.
곱의 법칙을 사용하면 조건부 entropy는 아래관계를 만족한다:

H[x, y] : p(x,y)의 미분 entropy   ,   H[x] : 주변 분포 p(x)의 미분 entropy.

∴ x와 y를 설명하는 데 필요한 정보 = 주어진 조건에서 y를 지정하는 데 필요한 추가 정보 + x만을 설명하는 데 필요한 정보

5.7 Mutual Information

독립변수 x, y에 대한 결합분포(joint distribution) p(x, y)는 주변분포의 곱으로 나누어진다: p(x,y) = p(x)p(y)

종속변수 x, y에 대해 결합분포와 주변분포의 곱 사이의 KL-Divergence를 고려하면, 
근사적으로 독립인지 or 얼마나 가까운지를 평가할 수 있다:

이때, 이를 변수 x와 y 간의 상호 정보(mutual information)라 한다.

KL-Divergence의 성질에 의해, x와 y가 독립인 경우에만 I[x,y]≥0이 성립. (단, 등호는 독립일 때 성립.)
확률의 합과 곱의 법칙을 사용하면 상호정보가 조건부 entropy와 관련있음을 알 수 있다.

즉, 상호정보는 새로운 관측 y로 인한 주어진 x에 대한 불확실성감소를 의미 (반대도 성립.)

---

🤔 Bayesian 관점:
p(x) : x에 대한 prior 분포
p(x|y) : 새로운 데이터 y를 관찰한 후의 posterior

6. Bayesian Probabilities

Bayesian 확률: 불확실성의 양적표현

∙ [고전적(= 빈도론적) 확률]:
휜 동전의 경우 동전이 오목한 면으로 떨어질 확률처럼
무작위, 반복 가능한 사건의 빈도에 대한 확률 개념.

∙ [Bayesian 확률]:
불확실성의 양적표현, prior가 자연스레 발생하여 포함된다.
"불확실성 표현을 위해 확률을 사용하지 않으면, 이성적이고 일관된 추론을 할 수 없다."

ex) 불확실성 = 동전의 오목한 면이 앞면 or 뒷면인지 파악하는 것
예를 들어, 동전이 뒷면으로 더 많이 떨어지는 횟수가 많다면?
동전이 오목한 면이 뒷면일 가능성이 더 높다는 증거를 제시하고,
실제로 이런 직관은 맞기에 이를 확률규칙으로 사용해 양적으로 표현가능하다

→ Bayes정리에 의해 동전 던지기로 제공된 데이터를 통합하여 오목한 면이 앞면일 사전 확률을 사후 확률로 변환할 수 있다.
과정이 반복가능하기에, 새로운 동전 던지기에서의 데이터를 통합하는 데에는 이전의 사후 확률이 사전으로 사용된다.

6.1 Model parameters

[Machine Learning 예제]: sine Regression예제.

D : train dataset
(이때, Linear Regression맥락에서 parameter는 maximum likelihood를 사용해 선택가능)
(이때, w는 우도 함수 p(D|w)를 최대화하는 값을 설정하며, 이는 관측된 dataset을 최대화하는 w값을 선택한다.)

PRML에서 Likelihood함수의 Negative log를 Error function이라 한다.
(즉, NLL-Loss)
NLL은 단조감소함수이기에 Likelihood 최대화 = 오류최소화 이다.

따라서 w_ML라는 특정선택된 매개변수 값이 생성되며,
이 값은 새로운 데이터에 대한 예측을 수행하는 데 사용된다.

다양한 traindataset 선택의(ex. data point 수가 다른)경우,
w_ML에 대해 다른 해가 생성된다.

---

Bayesian관점에서 model parameter에 대해 불확실성설명을 위해 확률론 사용이 가능하다.

data관측 전, w에 대해 우리의 가정을 prior p(w)의 형태로 나타낼 수 있다. 
관측된 D의 영향은 likelihood함수 p(D|w)를 통해 표현되며,
Bayes' theorem은 아래와 같다:

p(D|w) : Likelihood ; 주어진 parameter에서 관측된 data가 발생할 확률
p(w) : prior ; 선험적 지식이나 믿음.
p(w|D) : posterior ; 제공되는 update된 parameter확률분포
p(D) : Marginal Likelihood ; p(D|w)∙p(w)의 적분값 ; 모델전체의 적합도.

이를 통해 train data에 대한 우리의 불확실성을 반영
이를 기반으로 new data에 대한 예측 수행이 가능하다.

이렇게 Bayesian접근은 model parameter에 대한 불확실성을 고려한 확률적 추론을 제거, 불확실성 update를 통한 model개선이 가능하다.

식 posterior ∝ likelihood × prior에서 분모는 정규화 상수이기에,
좌측의 posterior는 유효확률밀도이기에 1로 적분되는 것이 보장된다.

사실, 식 p(w|D) 양쪽을 w에 대해 적분함으로써 Bayes' Theorem의 분모를 사전 분포와 likelihood 함수의 관점에서 표현할 수 있다:

---

[Bayesian vs Frequentist paradigms]:
모두에서 p(D|w)는 중요한 역할이지만 두 접근방식은 근본적으로 다르다.

 ∙ Frequentist
   w는 'estimator'의 일종에 의해 결정되는 고정된 매개변수로 간주

 ∙ Bayesian
  하나의 dataset D만 존재하며 (즉, 실제로 관측된 데이터),
  매개변수에 대한 불확실성은 w에 대한 확률 분포를 통해 표현됩니다.

6.2 Regularization

이 Bayesian 관점을 사용하여 위의 sine regression의 overfitting감소를 위해 사용된 정규화 기술에 대해 알아보자.

[MAP: Most A Posteriori]

w에 대한 우도 함수를 최대화하여 모델 매개변수를 선택하는 대신, p(w|D)을 최대화할 수 있다.
이를 최대 사후 확률 추정치(MAP)라 한다.

또한, 사후확률의 NLL최소화가 가능한데, p(w|D)의 양쪽에 음의 로그를 취하면 다음과 같다:

위 식의 오른쪽 식에 대해 알아보자.
1항: 일반적인 log likelihood.
3항: w에 의존하지 않으므로 생략가능.
2항: w의 함수 형태를 가지며, 이는 1항에 추가되어 정규화형태로 인식된다.

이를 더 명확하게 만들기 위해 w의 각 요소에 대해 동일한 분산 s²를 갖는 독립적인 평균이 0인 가우시안 분포의 곱으로 사전 분포 p(w)를 선택한다고 가정하자.

만약 log likelihood가 (2.66)에서으로 주어진 것처럼 Linear Regression모델이 특별한 경우,

posterior 최대화는 아래 함수로 최소화 가능하다. (MSE형태임을 알 수 있다.)

6.3 Bayesian Machine Learning

다만, Bayes정리의 단순적용은 machine learning에 진정한 Bayesian 처리가 이루어지지 않는다. 

[Bayes의 정리를 사용하는 전통적인 방법]:
종종 w에 대한 단일 지점 추정치를 찾는 결과로 이어져서 w의 불확실성을 무시한다.

앞선 시나리오를 고려해 보자. 
train dataset D, input 값 x에 대해 target변수 t를 예측할 때,
(즉, Bayesian 용어로는 x와 관찰된 데이터 D 모두를 고려한 t의 분포를 이해하려는 것)
확률의 합과 곱의 법칙의 적용으로 우리는 아래 식을 얻는다:

p(t | x, D) : train data x와 D가 주어질 때의 t의 posterior. (이 분포를 얻긴 어려움.)
(∵ w의 모든 가능한 값들에 대한 적분이 필요하며, 이는 많은 경우에 계산적으로 매우 비용이 들거나 해석적으로 어렵기 때문)

→ 일반적으로 사용되는 방법 중 하나는 w에 대한 불확실성을 고려하는 것으로
이를 위해 Bayesian 모델 평균화 또는 Bayesian 신경망과 같은 기술을 사용한다.
이는 w의 모든 가능한 값에 대한 사후 확률 분포 p(w|D)로 가중 평균을 취하여 얻는다.
Bayesian 방법을 특징 짓는 주요 차이점은 매개변수 공간에서의 이 적분입니다.


[Frequentist를 사용하는 전통적인 방법]:
정규화된 MSE같은 Loss function을 최적화해 얻은 parameter지점의 추정치를 사용

[Maximum Likelihood와 bayesian machine learning]

데이터의 확률이 가장 높은 모델을 선택 → 더 복잡한 모델을 선호 → Overfitting

완전한 Bayesian 처리는 가능한 모든 모델에 대한 평균을 계산, 각 모델의 기여치는 해당 posterior에 따라 가중된다.
또한 이 확률은 중간복잡성의 모델에 대해 일반적으로 가장 높다 (= Overfitting 덜 발생)
(낮은 차수의 다항식과 같은)매우 간단한 모델: 데이터를 잘 표현할 수 없어 낮은 확률을 가짐.
(매우 높은 차수의 다항식과 같은)매우 복잡한 모델 역시 Bayesian 매개변수의 통합에서 자동으로 복잡성에 대한 패널티를 부여받아 낮은 확률을 가짐.

다만, Bayesian방식에는 주요 단점이 있는데, parameter space를 통합해야한다는 점.
현대 Deep Learning은 수십억개의 parameter로 인해 일반적
∴ 대규모 신경망에 Maximum Likelihood기법 적용 > 훨씬 작은 모델에 Bayesian 처리를 적용 
또한 이 경우에는 일반적으로 정규화 중 하나 이상이 적용되어야 함.

🧐 정리

Uncertainty: 양적표현으로 다루기 위해 "확률론"등장

 ∙ Epistemic(인식론적)

= systematic
→ 유한한 dataset에 적절

 ∙ Aleotoric(우연성)

= intrinsic = stochastic = noise
→ 세상 일부만 관찰하기에 noise가 발생
→ 다른종류의 data수집으로 noise 완화가능

 ∙ 합과 곱의 법칙

합∙곱법칙 + 결정이론(decision theory)를 이용하면,
모호한 정보( = uncertainty)더라도 optimal prediction에 도달가능

p(X,Y) : X와 Y의 결합확률(joint probability)
p(Y|X) : X에 대한 Y의 조건부확률 (X만 고려시, Y일 확률)
p(X) : 주변확률(marginal probability), 단순 X확률
p(X,Y) = p(X)p(Y) : 독립

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Expectation & Covariance

 ∙ Expectation: 확률분포 하 함수의 가중평균

E[f] : 다른 x값들이 상대적 확률에 따라 "가중"되는데, 이는 곧 "확률분포 p(x)하에서 함수 f(x)의 가중평균"을 의미.

이산변수의 기댓값의 경우, sample이 많아질수록 실제함수의 가중평균에 더욱 수렴하게 된다.
cf) 분산: Var[f] = E[f(x)²] - E[f(x)]^2. (feat. 제평평제)

 ∙ Covariance: 두 변수가 함께 얼마나 변하는지를 측정.

만약 x와 y가 독립이라면: Cov[x,y]=0

두 벡터 x와 y에 대해, 그들의 공분산은 다음과 같은 행렬이다:

만약 벡터 x의 구성 요소들 간의 공분산을 고려한다면,
더 간단한 표기법으로 cov[x] ≡ cov[x, x]를 사용한다.

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Gaussian Distribution

 ∙ Gaussian 분포 (최대entropy와 CLT)

Maximum Entropy와 중심 극한 정리(CLT)의 관점에서 자연스레 나타난다.
cf) 최댓값=최빈값이며, precision = 1/σ²

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 ∙ Likelihood 함수

우측 그래프는 Gaussian의 Likelihood함수:
회색점: Gaussian분포에서 i.i.d인 Dataset
파란점: 각 dataset에 대한 관측값, p(x)
Likelihood함수: p(x)와 PDF의 곱으로 "특정 data관찰 확률을 의미"

 

 ∙ Maximum Likelihood 

이때 관찰된 Dataset으로 Likelihood Function을 최대화하는 확률분포의 매개변수를 결정하는 방법.

좌측 값은 평균과 분산에 대해 위 likelihood함수를 최대화 시,
각각에 대한 Maximum Likelihood 해를 얻을 수 있다.

Maximum Likelihood의 제한사항이 존재한다:
(MLE는 모집단 추정에 완벽하지 않은데, 이는 bias로 인해 발생한다)
μ_ML   =  μ의 불편 추정량  ,  σ_ML² ≠  σ²의 불편 추정량. (N-1 / N)

[Bias발생원인]:
분산이 데이터에 맞게 조정된 MLE기준으로 측정되기 때문.
아래 그림은 MLE로 Gaussian의 평균과 분산을 결정할 때,
bias가 어떻게 발생하는지에 대한 직관적인 이해가 가능하다.

빨간곡선: Gaussian분포
파란곡선: 2개의 녹색 data point로 이뤄진 3개의 dataset에 ML로 얻은 Gaussian분포.


위 그림을 통해 다음 사실을 알 수 있다.
3개의 dataset을 평균화하면 평균을 동일하다.
하지만, 분산은 실제 평균과 비교❌  , 표본평균과 비교 → 다소 과소평가(N-1/N)된다.

다만, 신경망처럼 복잡한 모델에서는 ML의 bias보정이 쉽지 않다.
또한, MLE의 bias는 Data point N이 많아지면, 덜 중요해지진다.(lim N → ∞)

Gaussian의 경우, 너무 N이 적지 않은 이상 이 bias가 큰 문제가 되진 않지만
본 저서는 Deep Learning 즉, 많은 parameter를 갖는 모델에 초점을 두었기에
ML과 관련된 bias문제는 보다 심각하다.(Overfitting문제와 밀접한 관련성을 가짐.)

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변수간 비선형변환: 

 ∙ Density 변환방법:

모든 밀도 p(y)는 모든곳에서 0이아닌 고정된 밀도 q(x)를 얻을 수 있기 때문.
이때, q(x)는 x=f(y)인 비선형변수변환으로 얻어진 값.

빨간곡선: x에 대한 정규분포 p(x)
이 분포에서 N=5만개 점 추출, histogram을 그림.
→ p(x)와 거의 일치할 것.


x→y로의 비선형변수변환을 고려해보면:
x = g(y) = ln(y)-ln(1-y)+5
이 함수의 역함수는 Sigmoid함수로 파란곡선이다.

px(g(y)): 만약 단순히 px(x)를 x의 함수로 변환한다면 얻는 분포, 곡선의 mode가 변환된 것을 확인가능.
y에 대한 밀도는 좌측 식에 의해 변형되기에

좌측의 핑크 곡선(right-skewed)으로 나타난다.

이 식을 다변량에 대해 적용하려면 Jacobian Matrix를 이용하면 된다.

x, y가 다변량분포일 때, 비선형변환을 적용하려면Jacobian Matrix를 사용 (py(y) = px(x) |det J|).

해당 그래프를 보면 y의 주변분포로 떨어지는데 이를 공간상으로 확장한 것.
즉, "주변 영역"으로 변환 된다는 것을 의미.

cf) J의 역할: 
공간의 일부를 확장하고 다른 부분을 압축하는 것
(= 해당 변수의 변화량이 다른 변수에 얼마나 영향을 주는지를 의미;
이를 모든 영역에 대해 고려하면 전체 공간이 어떻게 변화하는지 알 수 있음)

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정보이론: Entropy

 ∙ Entropy: 특정값 관찰 시 얻는 정보량

물리학에서의 entropy보단, 정보이론 중심의 "정보량"기준으로 살펴보자.

정보내용의 측정은 확률 분포 p(x)에 의존, 따라서 h(x)를 찾는것이 목표.
h(x): p(x)의 단조 함수인 정보 내용을 나타내는 양

[정리]: 두 독립사건 x,y에 대해 아래가 성립.
  ∙ h(x,y) = h(x) + h(y)
  ∙ p(x,y) = p(x)p(y)
h는 p의 정보량이기에 위 식이 만족하려면 h는 log로 주어진다.
∴ h(x) = -log₂p(x)로 주어진다.

정보론: log₂가 관례적, 이는 곧 h(x)의 단위가 bit('binary digits')임을 의미.

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이때, entropy를 좀 더 정보론적으로 접근해보자.
먼저 log 사용이유이다. 
정보 전달 시, encoding을 하여 압축을 시켜야 하는데, log는 자릿수를 쉽게 표현가능하다.
ex) log100 = 2, log1000 = 3

즉, Entropy는 random변수의 상태를 전송 시,
전송 가능한 가장 짧은, encoding길이 최솟값을 의미한다.

추가적으로 전송내용은 필히 손실이 발생하는데, 우리가 갖는 data는 이산형이기 때문이다.
즉, 매우 정밀하게 지정하려면 많은 bit가 필요함을 의미한다.

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 ∙ H[x] : x의 entropy (= p(x)의 기댓값 = 평균정보량)

cf) H[x, y] = H[y|x] + H[x]를 만족.
즉, x와 y를 설명하는데 필요한 정보 = 주어진 조건에서 y를 지정하는데 필요한 추가정보 + x만을 설명하는데 필요한 정보.

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∙ KL Divergence : 두 분포간의 비유사도 측정.

모르는 분포 p(x)와 근사분포 q(x)에 대해 q(x)를 이용해 x값을 수신자에게 전송한다.
이때, q(x)는 실제분포 p(x)대신 x값 지정 시 필요한 "평균추가정보량"을 의미한다.
(즉, 추가로 전송해야할 정보 = 두 분포간의 KL-Divergence)

쉽게 설명하자면, Cross Entropy - Entropy가 바로 KL Divergence식이다.

cf) Deep Learning에서 Loss function으로 KL Divergence를 사용해야하는 것 아닌가요?
왜 KL Divergence가 아닌 Cross Entropy를 사용하는지 의문이 들 수 있다.
KL-Divergence는 cross entropy에서 최소량인 entropy를 빼니까 이 오차값,
즉, cross entropy가 optimal(= entropy)해지도록 평균추가정보량을 줄이는 방향으로 학습하는 것이 맞다는 생각이 들 것이다.

하지만 오차함수 미분 시, Entropy가 상수가 되어버리기 때문에 
결국 KL-Divergence = Cross Entropy가 되어버린다.
결국 Cross Entropy를 편의상 사용하지만, 실상은 KL-Divergence를 사용하는 것과 마찬가지라 생각하면 된다.

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Bayes' Theorem: 불확실성의 양적표현

 ∙ Frequentist 확률:

휜 동전의 경우 동전이 오목한 면으로 떨어질 확률처럼 무작위, 반복 가능한 사건의 빈도에 대한 확률.
[p(D|w)에 대한 접근방식]: w는'estimator'의 일종에 의해 결정되는고정된 매개변수로 간주
[기계학습에 대한 적용방식]: 정규화된 MSE같은 Loss function을 최적화해 얻은 parameter지점의 추정치를 사용

 ∙ Bayesian 확률

[p(D|w)에 대한 접근방식]: 하나의 dataset D만 존재하며 (즉, 실제로 관측된 데이터), 매개변수에 대한 불확실성은 w에 대한 확률 분포를 통해 표현
[기계학습에 대한 적용방식]: 데이터의 확률이 가장 높은 모델을 선택 → 더 복잡한 모델을 선호 → Overfitting
그렇기에 Bayesian기반 기계학습 모델은 적은 dataset일수록 더 좋은 성능을 낸다.


불확실성의 양적표현, prior가 자연스레 발생하여 포함된다.
"불확실성 표현을 위해 확률을 사용하지 않으면, 이성적이고 일관된 추론을 할 수 없다."

ex) 불확실성 = 동전의 오목한 면이 어느면인지 파악하는 것
예를 들어, 동전이 뒷면으로 더 많이 떨어지는 횟수가 많다면?
동전이 오목한 면이 뒷면일 가능성이 더 높다는 증거를 제시하고,
실제로 이런 직관은 맞기에 이를 확률규칙으로 사용해 양적으로 표현가능하다
→ Bayes정리에 의해 동전 던지기로 제공된 데이터를 통합하여 오목한 면이 앞면일 사전 확률을 사후 확률로 변환할 수 있다.
과정이 반복가능하기에, 새로운 동전 던지기에서의 데이터를 통합하는 데에는 이전의 사후 확률이 사전으로 사용된다.

D : train dataset
p(D|w) : Likelihood ; 주어진 parameter에서 관측된 data가 발생할 확률
p(w) : prior ; 선험적 지식이나 믿음.
p(w|D) : posterior ; 제공되는 update된 parameter확률분포
p(D) : Marginal Likelihood ; p(D|w)∙p(w)의 적분값 ; 모델전체의 적합도.



이를 통해 train data에 대한 우리의 불확실성을 반영이를 기반으로 new data에 대한 예측 수행이 가능하다.
이렇게 Bayesian접근은 model parameter에 대한 불확실성을 고려한 확률적 추론을 제거, 불확실성 update를 통한 model개선이 가능하다.