1.1 Ax = b의 space와 independent, rank

1. space

😶 vector space
 - linear space라고도 불리며 이 공간안에 정의된 원소를 벡터(vector)라 부른다.
 - vector space는 집합 V의 원소에 대해 정의되는 덧셈, 실수배연산이 만족될 때 V를 벡터공간(선형공간)이라 하며 V의 원소를 벡터라 부른다.

😶 subspace
 - 벡터공간의 부분집합이 벡터공간구조를 가질 때, 그 부분집합을 부분공간이라 부른다.

😶 Euclidean space
 - vector space Rⁿ에 대해 벡터의 크기 norm을 정의한 공간
 - 이 공간에서는 유클리드 기하가 성립하며 이 정의를 이용해 두 점 사이의 거리나 선분의 길이를 구할 수 있다.

😶 (standard) inner product
 - v·w 또는 <v, w>로 표현한다.
 - v·w = v₁w1 + v₂w₂ + ... + v_nw_n = v^Tw = w^Tv로 표현된다.

 

1.1 행렬 A의 열을 이용한 곱셈  Ax

Ax = x₁a₁ + x₂a₂로 표현가능하다.
 - 즉, Ax는 행렬 A의 열의 일차결합으로 이는 행렬 A의 column space로 이어진다.
 - 이때, x₁과 x₂는 실수이며, 이 벡터공간은 임의의 벡터 x에 대해 모든 Ax를 포함한다.

cf. a₁, a₂, a₃은 서로 독립(independent)이다.

즉, (x₁ , x₂)가 Ax = b의 해라면, b = (b₁ , b₂ , b₃)은 행렬 A의 column space C(A)의 원소이다.

또한, n×n 가역행렬에 대해 Ax = b의 유일 해는 x = A⁻¹b이며,
이때 가역행렬의 열의 일차결합 즉, column space는 Rⁿ과 같다.

 

1.1.1 행렬 A의  독립인 열과 랭크

행렬 A의 기저(basis)를 찾을 수 있고, A를 두 행렬의 곱셈 C × R로 분해할 수 있을 때
최종목표: 행렬 A에서 행렬 C를 바로 찾는 것

A의 n개 열로 찾을 수 있는 행렬 C (이때, 가능한 많은 C의 열이 일차독립이어야 한다.)

이때, subspace의 basis는 일차독립인 벡터로 이루어지며

※ 랭크 정리
 - 일차 독립인 열과 일차독립인 행의 개수는 같다.

즉, rank = 일차독립인 열의 최대 개수 = 일차독립인 행의 최대 개수

A = CR로 표현될 때, 이때 행렬크기는 (m × n) = (m × r) (r × n)이다.
즉, 행렬 A의 계수(rank)는 행공간과 열공간의 차원을 뜻한다.

 

Ex.

 

 

 

Ex.