1.3 4가지 fundmental subspaces

1.3 The Four Fundamental Subspaces

모든 m×n 행렬 A에서 4개의 부분공간은 다음과 같다.
 - 2개의 R^m 부분공간
 - 2개의 Rⁿ 부분공간

Ex) 

[Counting Law]
r개의 독립인 일차방정식으로 이뤄진 Ax = 0에는
일차독립인 해가 n - r개 존재한다.
(일차독립은 Ax = 0의 해가 단 하나만 존재함을 의미)

 

😶Graph

위 그래프는 5개의 edge와 4개의 vertex를 갖는다.

영공간 N(A) : 영공간을 찾기위해 5개의 방정식에서 b=0으로 두고 계산했을 때, 4개의 미지수 x₁, x₂, x₃, x₄는 모두 같은 값 c를 갖는다. 따라서 모든 벡터 x = (c,c,c,c)는 Ax = 0의 해가 된다.
이 영공간은 R⁴에서 직선으로 
 - 특수해 x = (1,1,1,1)은 영공간 N(A)의 기저(basis)이고 rank = 1(∵직선)이다.



열공간 C(A) : r  = 4 - 1 = 3개의 일차독립인 열이 존재한다.
아래 3개의 열은 A의 열공간의 기저(basis of column space)이다.

A의 1, 2, 3열은 일차독립(linearly independent)이며 
4열은 다른 3열의 일차결합(linear combination)이다.




행공간 C(A^T) : column과 마찬가지로 rank = 3이지만, 처음 3개의 행은 일차독립이 아니다.(∵3행 = 2행 - 1행)
처음으로 3개의 일차독립이 되는 행은 1, 2, 4행이다.
 - 1, 2, 4행들은 행공간의 기저이다.



좌영공간 N(A^T) : A^Ty = 0의 해를 구해보자.
행의 일차결합은 0이며 이미 3행이 2행에서 1행을 뺀 것을 알고 있기에 하나의 해는 y = (1, -1, 1, 0, 0)이다.
또 하나의 y는 y = (0, 0, -1, 1, -1)로 이 해는 A^Ty = 0의 일차독립인 해이다.
따라서 좌영공간 N(A^T)의 차원은 m - r = 5 - 3 = 2이다.
따라서 이 2개의 y는 좌영공간의 기저(basis of left nullspace)이다.



▶ A의 행공간 C(A)의 차원: r = 3
▶ A의 열공간 C(A^T)의 차원: r = 3
▶ A의 영공간 N(A)의 차원: n - r = 1
▶ A^T의 영공간 N(A^T)의 차원: m - r = 2

 

 

 

1.3.1  AB와 A + B의 rank

행렬을 곱할 때, rank가 증가할 수 있는데 이는 column space와 row space에서 확인할 수 있다.
또한, rank가 감소하지 않는 특별한 상황도 존재하며 이를 통해 AB의 rank를 알 수 있다.


rank의 주요명제

4. mxr행렬 A, rxn행렬 B의 rank가 모두 r이라면, AB의 rank도 r이라는 의미.

명제 1. : AB의 열공간과 행공간에 관한 내용
C(AB)는 C(A)에 포함된다.
C((AB)^T)는 C(B^T)에 포함된다.
 - 1.1절에서 언급했듯, rank(행) = rank(열)이다.
 - 즉, 행 또는 열을 이용한다면 행렬곱셈인 AB는 rank를 증가시킬 수 없다!



명제 2. : A + B의 각 열은 A의 열과 B의 열의 합이다.
rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) 는 항상 참이다.
  - 이는 C(A)와 C(B)의 기저의 결합을 의미한다.

rank(A + B) = rank(A) + rank(B) 는 항상 참이 아니다.
  - 이 명제는 A = B = I 일 때, 거짓이다.



명제 3. : A와 A^TA에 모두 n개의 열이 있다.
두 행렬은 모두 영공간이 같다. 따라서 두 행렬에서 n - r의 값은 같고 rank는 모두 r이 된다.
 - 또한 rank(A^T) ≤ rank(A^TA) = rank(A)이다.

 

Ex). A^TA와 A의 영공간이 같음을 보여라.